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生成模型的意图是学习数据之间的杂乱关系以创立新的模仿数据，可是当时的办法在高维景象下不行行。当数据的生成依据物理进程时，经过学习物理进程背面的物理规则，能够创立生成模型，取得物理进程中的对称性和束缚，然后答应模型在高维景象下有较好的作用。近来发表于PNAS的一项研讨，作者提出了拉格朗日深度学习（Lagrangiandeeplearning），并将其应用于学习世界学流体动力学模仿。

论文标题：

LearningeffectivephysicallawsforgeneratingcosmologicalhydrodynamicswithLagrangiandeeplearning

论文地址：

pnas.org/content/118/16/e2020324118

世界大规范结构构成的数值模仿关于从观测中提取世界信息至关重要。[1-7]原则上，流体动力学模仿能够猜测世界中全部可观测物质的散布，然后能够模仿观测。可是，因为核算成本高，高分辩分子动力学模仿尚不行行。现在最广泛运用的办法是进行仅存在重力的N体模仿，然后运用半解析办法填充重子，这种办法有很强的假定性。[8][9]此外，许多世界学观测（例如X射线发射和Sunyaev–Zeldovich（SZ）发射）都是依据流体动力学的气体特性，例如气体密度、温度、压强等，在只要暗物质的景象下无法被建模模仿。

深度学习办法供给了一种代替办法，能够对世界可观测物质进行模仿。许多论文以为该使命是图画到图画的翻译问题，行将像素化的物质密度场作为输入数据，输出像素化的可观测场。这些办法要么运用比如生成对立网络（GAN）[10]和变分自编码器（VAE）[11][12]之类的深度生成模型求解条件概率散布p(ytarget|xinput)，要么运用深度卷积神经网络（DCNN）学习映射xinput→ytarget。该范畴曾经的作业十分广泛，例如辨认光晕（质子晕）[13-16]，发生三维（3D）星系散布[17]，生成热SZ（tSZ）信号[18]，猜测暗物质消亡的反应信息[19]，学习中微子效应[20]以及从低分辩率模仿中模仿高分辩率特征[21][22]等。

与这些在像素（欧拉）空间中作业并将视场视为图画的办法不同，动力学建模的另一种办法是拉格朗日办法，即经过对单个粒子或流体元素的位移场进行建模来盯梢其运动。位移场比密度场包括更多的信息，因为不同的位移场能够发生相同的密度场，并且一般比密度场具有更多的高斯散布和线性散布。该空间中的现有办法仅能求解暗物质，例如近似的N体求解器[23][24]和DCNN[25]。

在这项作业中，咱们提出了一种深度学习架构，即拉格朗日深度学习（Lagrangiandeeplearning），运用拉格朗日办法对世界暗物质和流体动力学进行建模。该模型是由物理学中有用理论思维促动的，一个实在物理进程或许因为过于杂乱而不能模仿，以至于无法对它进行有用的，一般是粗粒度的物理学描绘。一个典型的比如是有用场论，其间对微扰场论弥补了遵守对称性的有用场论概念，这些概念是对非扰动的小规范效应的有用粗粒度描绘。发生的有用描绘具有与实在物理学类似的结构，可是具有有必要满意的自在系数，并说明晰非扰动的小规范效应。

（1）模型提出的布景

世界暗物质和重子的演化能够经过偏微分方程来描绘，该体系耦合重力、流体动力学和各种亚网格物理建模进程（例如恒星构成），这些进程从世界开端到今日都在不断演化。人们期望模仿很大一部分可观测世界，一起还以较小的数量级捕获三维空间中重要的物理进程。即便运用现代核算渠道，终究的动力学模仿成果规模也过大。

一种有用的办法是将整个问题改写成人们能够处理的大规模问题，并有用地描绘无法处理的小规模问题。在理论物理学中，这一般是经过重写拉格朗日算法来完结的，使得其为满意问题中对称性的最遍及方式，其间自在系数描绘了小规范粗粒度的影响。

在世界学中，大规模的演化受引力操控，能够很容易地经过扰动或数值求解。运用扰动打开的有用描绘[31]，无法对小规范景象和杂乱的重子演化进程进行建模。虽然空间粗粒度是该主意的最遍及完成，但也能够将其应用于时刻粗粒度。经典的偏微分方程求解器需求许多时刻，花费巨大。暂时粗粒化用更少的积分时刻步长来代替偏微分方程求解，其特点是用有用描绘代替了实在的物理方程，一起又保证了大规范下的实在解[23][24]。

咱们选用有用物理描绘的思维，并将其与深度学习范式相结合，在该范式中，数据经过简略操作组成的多层映射，并且挑选某些丢失函数练习这些层的系数。虽然运用具有很多系数的神经网络描绘了机器学习层，可是在这里，咱们运用与实在物理规律类似的结构，将单个层视为单个时刻步长的偏微分方程求解器。它的长处是能够保存问题固有的对称性。咱们期望在世界环境中坚持的首要对称是平移和旋转对称：物理规律没有首选的方位或方向。可是咱们也期望满意现有的守恒规律，例如暗物质和重子质量守恒。

（2）拉格朗日深度学习模型的树立

满意这两个要求的一个简略完成是描绘暗物质或重子的拉格朗日位移。咱们运用势场梯度来移动粒子，并且因为仅移动粒子，质量坚持守恒。为了保证有用描绘中的平移和旋转对称性，咱们对傅立叶空间中的势场进行整形，使其仅取决于傅立叶波矢量的起伏。势场梯度能够看作是使粒子具有加速度的力，势场的形状等效于该力的径向相关性。此描绘需求粒子的方位和速度，因而它是时刻上的二阶偏微分方程，咱们把这个描绘用于暗物质。

关于重子，咱们经过假定它们的速度与暗物质的速度相同来简化建模，这是因为速度受大规范的分配。在这种状况下，咱们能够运用电势梯度直接代替粒子的方位，因而，这个描绘在时刻上变为一阶方程。此外，经过对模型的简略扩展，咱们能够将此概念应用于气压和温度等重子的可观测性质，此刻守恒律不再适用。

完好的描绘还要求咱们界说势的来历。在物理学中，来历一般是粒子的某些特点，例如质量或电荷数。在这里，咱们期望描绘亚网格物理的杂乱非线性进程，以及时空上的粗粒度。与引力相同，咱们假定势场的源是密度的简略幂律，运用学习得到的格林函数转化这个势场。因为期望对几种不同的物理进程进行建模，咱们将模型堆叠为多层。因为该模型包括了粒子数据，并且运用拉格朗日办法对位移场进行了建模，因而咱们将此模型称为拉格朗日深度学习。

咱们的特定方针是运用能够得到物理对称性和守恒规律的有用描绘，从设定的前期世界初始条件开端，对暗物质和流体动力学可观测物质的散布进行建模。这种应用于时刻和空间粗粒度的进程的一个示例是仅具有几个时刻步长的暗物质演化，它结合了近似N体求解器的思维，并结合了势梯度下降（PGD）的进程捕获粗粒度[32][33]。咱们首要运用准粒子网（PM）N体求解器FastPM[24]，它保证了在恣意数量的时刻步长上都能正确地进行大规范改动，这是因为FastPM中越级积分器的反冲和漂移因子是依据线性（Zel'dovich）运动方程式进行改动的。

FastPM仅具有几层（一般为5到10），并且运用粒子位移，它被一层PGD的附加层完成，该层仅用于改进小规模暗物质的散布。此进程的全部进程均为拉格朗日深度学习方式，因而能够视为其初始层。发生的暗物质图如图1所示，与IllustrisTNG的整个N体模仿有很好的一致性，这也能够经过参阅文献[32]中的数值比较得到证明。该程序不是在学习新的物理学，而是在学习对时刻和空间粗粒度的有用物理学描绘：在规范的N体模仿中，咱们运用了10步代替了1,000多个时刻步长，运用64个降低了质量分辩率的特征而不是具有完好空间分辩率的特征。

图1仿真切片的可视化。第1行是输入的线性密度场。

第2、4、6、8和10行别离是暗物质密度、恒星质量、电子动量密度（kSZ信号）、电子压强（tSZ信号）和X射线信号的猜测。第3、5、7、9、11行是TNG300-1流体动力学模仿中的相应方针场。左，中和右列别离为红移z=0，z=0.5和z=1。

（3）将模型扩展到杂乱世界流体动力学识题

咱们期望将这些思维扩展到更杂乱的世界流体动力学识题上，在此咱们期望经过有用描绘来学习物理进程。重子具有耗散性和磕碰性，在被称为暗物质晕的高密度区域内能够发生许多物理进程，例如冷却、辐射、恒星构成、气体冲击、湍流等。能够将位移添加到暗物质粒子上，以模仿流体动力学进程，然后使位移后的粒子具有与重子类似的散布。焓梯度下降（EGD）便是这个主意的一个比如[32]：人们将小位移添加到暗物质粒子上，以改进小规范的低分辩率的近似模仿并在整体上对重子进行物质散布建模。

在这项作业中，咱们一起运用FastPM和N体模仿，并将它们与拉格朗日深度学习结合运用，以依据线性密度图猜测重子可观测值。咱们考虑对恒星质量，动力学SZ（kSZ）信号，tSZ信号和X射线在红移z=1、z=0.5和z=0时进行建模。暗物质粒子首要经过FastPM演化为这些红移，然后传递给拉格朗日深度学习网络以对重子进行建模。经过将输出与TNG300-1流体动力学模仿的方针场进行匹配，能够优化拉格朗日深度学习中的参数[26-30]。因为kSZ信号与电子动量成正比，tSZ信号与电子压强成正比，咱们也对其进行建模。

除了FastPM，咱们还考虑将拉格朗日深度学习模型与完好的N体仿真相结合。咱们从TNG300-3-Dark（TNG300系列的低分辩率纯暗物质程序）中的红移z=1、z=0.5和z=0处获取粒子数据，并将粒子数据输入拉格朗日深度学习模型。咱们将这两种混合仿真的功能与方针高分辩率流体动力学仿真进行了比较。

咱们总结了这些模仿的数值参数，还列出了TNG300-3（TNG300的低分辩率流体动力学模仿程序）。TNG300-3具有咱们的混合仿真的分辩率，是与咱们的模型功能进行比较的天然参阅。成果，依据FastPM的混合仿真和依据N体的混合仿真别离比方针仿真降低了7个和4个数量级核算量。与TNG300-3比较，混合仿真别离降低了4个和1个数量级的核算量，并且咱们证明咱们的仿真优于TNG300-3，与TNG300-1适当。

咱们丈量这些势场的统计数据，并进行定量比较。咱们首要比较功率谱，这是世界学中运用最广泛的统计量。咱们将传递函数和相关系数散布界说为：

其间Ppredict，target(k)是猜测场和方针场之间的互谱。

在图2到6中显现了3D和2D互谱、传递函数、恒星质量超密度δ?的相关系数、电子动量、电子压强和X射线强度。在大中规范水平上，咱们的混合仿真一般与方针场十分匹配（X射线在外，在这种状况下，依据FastPM的混合仿真无法猜测红移为0.5和1时的X射线。而TNG300-3协议的作用一般较差，尤其是关于恒星质量而言。TNG300-3恒星质量的较大误差或许部分是因为低分辩率TNG300-3无法分辩小晕中的恒星构成的。相反，经过对高分辩率流体动力学模仿TNG300-1进行练习，咱们的低分辩率混合模仿能够比流体动力学模仿更好地模仿那些小星系。

在小规范状况下，全部猜测场都显现出与方针场的某些误差。咱们将在下一部分中评论构成这些状况的或许原因。咱们还看到，与依据FastPM的仿真比较，依据N体的混合仿真一般能够猜测更大的小规范能量。整体而言，依据N体的混合仿真的猜测能量谱更好，虽然它能够猜测太多的小规范能量（例如，红移1处的kSZ信号）。

相关系数也显现在图2-5中。能够观察到，混合仿真比TNG300-3更好，依据N体的混合仿真比依据FastPM的仿真高一些。请注意，原则上，相关系数能够量化傅立叶剖析的相位一致性，它是比传递函数更重要的统计量。这再次标明，与相同分辩率下的完好流体动力学模仿比较，咱们模型的重子模仿更挨近实在状况。

图2测验集的3D能谱（上）、传递函数（中）和恒星质量超密度的相关系数（下）的比较。

比较了红移为0、0.05和1的拉格朗日深度学习混合仿真TNG300-3和方针TNG300-1流体动力学仿真的数据。

图3拉格朗日深度学习混合模仿TNG300-3和方针TNG300-1的流体动力学仿真之间的测验集2D能谱（上）、传递函数（中）和电子动量密度相关系数（下）的比较。

图4拉格朗日深度学习混合模仿TNG300-3和方针TNG300-1的流体动力学仿真之间的电子压强的测验集3D能谱（上）、传递函数（中）和互相关系数（下）的比较。

图5拉格朗日深度学习混合模仿TNG300-3和方针TNG300-1的流体动力学仿真之间的气体特性（与X射线发射成份额）的测验集3D能谱（上）、传递函数（中）和相关系数（下）的比较。

图6拉格朗日深度学习混合仿真与方针TNG300-1流体动力学仿真之间的不同可观测值的测验集互谱之比。

大规范结构的观测（例如弱透镜和星团）之间具有很强的相关性，因为它们都是由相同的根本物质散布确认的。这些观丈量之间的相关性还包括其他信息，这些信息无法经过独登时剖析每个可观察到的量来取得。相关系数还具有不添加噪声的长处。咱们的混合仿真能够以较低的核算成本一起生成各种可观察量，因而关于相关性剖析具有潜在的远景。

咱们提出了一个拉格朗日深度学习模型，用于从模仿或实在数据的输出中学习有用的物理规律。详细而言，在本文中，咱们要点研讨在世界学模仿中重子流体动力学的物理。咱们经过将N体/准N体重力求解器与拉格朗日深度学习模型相结合来构建混合仿真。成果标明，依据FastPM的混合模仿和依据N体的混合模仿均能够用线性密度场生成各种红移的恒星质量、kSZ、tSZ和X射线图，其核算成本别离比方针高分辩率流体动力学模仿低几个数量级。咱们在这些量进步行了自动能谱剖析和相关剖析，成果标明，混合模仿在相同的分辩率下一般优于流体动力学模仿。

（1）该模型供给有用描绘

拉格朗日深度学习模型期望供给对根本物理学的有用描绘。这样的描绘有必要遵守问题的全部对称性，旋转和平移不变性是两个要害的对称性，可是其他对称性，例如质量守恒也或许呈现。在本文中，咱们以为施行这些对称会创立一个生成模型，该模型学习物理规律的有用描绘，而不是学习数据散布。这是因为对称是生成模型上仅有有必要清晰完成的束缚，全部都能够从数据中学到。

在这里，咱们主张经过组协作用在描绘体系（例如流体）的物理特性的有用粒子上的位移层，并依照拉格朗日办法移动粒子，来完成生成模型的学习。能够将粒子的位移理解为潜在物理进程的成果，而粒子传输则是比如气体冷却、加热和湍流等进程的成果。输出层是一个非线性改换，是具有阈值的粒子密度场，用于模仿物理进程，例如恒星构成。

（2）该模型仅需求几个参数

体系的平移和旋转对称性对模型施加了严厉的束缚。这使人们能够运用很少的参数来建模杂乱的进程并生成数据图画。因而，即便需求要描绘极高的维数（108或更大）的体系，根本的有用物理描绘也只需求少数几个参数。

少数的自在参数也使模型安稳且易于练习。一个重要的长处是，咱们能够运用少数参数作为杂乱的微模型的有用物理描绘，这类似于微模型的有用场论描绘中因为重整化而发生的自在参数。这标明拉格朗日深度学习办法能够代替模仿恒星构成进程的其他有用描绘。与一般依赖于不行微模型的半解析办法比较，该办法具有显着的可区别性，因而人们能够运用反向传达来得出相关于初始密度场的终究可观丈量的梯度。这能够很容易地嵌入到正演化模型的结构中，以依据观测成果重建初始条件[37]。

（3）该模型弥补之前的世界流体动力学模仿模型

用拉格朗日深度学习进行流体动力学模仿的练习，并不是要代替之前的流体动力学模仿模型而是要对其进行弥补：例如，它能够对粗网格进行插值并将其扩大到更大的体积和更高的分辩率。比较之下，拉格朗日深度学习有或许消除对半解析办法的需求，半解析办法是当时大规范结构中的规范典范。这些办法首要运转N体模仿，然后运用可观测物质的半解析方式填充其暗物质晕。拉格朗日深度学习不只能够在相同的分辩率下取得相同的成果，并且还优于这些半解析办法。与N体仿真中的103个层级比较，除了最多6个拉格朗日深度学习层之外，混合模型以大约10个时刻步长完成了这些方针。咱们期望这会促进世界学大规范结构（LSS）观测的模仿和对从LSS中取得的物理量的剖析。

BiweiDai、UrosSeljak|作者

潘佳栋|编译

邓一雪|修改

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